중립축(neutral axis)으로부터 거리 \( y \) 떨어진 위치의 축방향 변형률 \( \varepsilon \)은 다음과 같이 표현된다.
\[ \varepsilon = -\frac{y}{\rho} \]
여기서 \( \rho \)는 곡률 반지름(radius of curvature)이다.
변형률과 응력은 훅의 법칙에 의해 다음과 같이 관련된다.
\[ \sigma = E \varepsilon = -E \frac{y}{\rho} \]
여기서 \( E \)는 재료의 탄성계수(Young's modulus)이다.
단면에 작용하는 휨 모멘트 \( M \)는 다음과 같이 정의된다.
\[ M = \int_A \sigma y \, dA \]
위 식에 응력식을 대입하면,
\[ M = \int_A \left( -E \frac{y}{\rho} \right) y \, dA = -\frac{E}{\rho} \int_A y^2 \, dA = -\frac{E}{\rho} I \]
따라서 곡률과 모멘트의 관계는 다음과 같다.
\[ \frac{1}{\rho} = \frac{M}{EI} \]
여기서 \( I \)는 단면 2차 모멘트(moment of inertia)이다.
응력식에 곡률 관계를 대입하면 휨응력은 다음과 같이 정리된다.
\[ \sigma = -E \frac{y}{\rho} = -E y \cdot \frac{M}{EI} = -\frac{M y}{I} \]
이로부터 최종적인 휨응력 식은 다음과 같다.
\[ \boxed{ \sigma = \frac{M y}{I} } \]
여기서 \( y \)는 중립축으로부터의 거리이며, 부호는 기준 방향에 따라 결정된다.